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相互作用導致的陳絕緣體在數值模擬中被發現

| 2016-08-15


盧仲毅 研究組 供稿 


無相互作用拓撲絕緣體的研究已經非常充分了,對于描述這些拓撲物質形態的拓撲不變量,如纏繞數、陳數、Z2不變量等,人們在理論和實驗上都了解得比較清楚。相比之下,對于相互作用下拓撲物態的性質和分類,則有太多問題懸而未決。電子相互作用所引入的關聯效應,一方面使得體系本身變得復雜,另一方面卻往往可以涌現出更加豐富的物理現象。其中一個比較普遍的思路,就是電子相互作用可以使體系進入非平庸的拓撲物態,如相互作用導致的陳絕緣體或者具有拓撲序的自旋液體態。這方面的猜測性研究不少,但是通過定量的數值方法,結合理論分析,確定性地找到由相互作用所導致的拓撲物態,這樣的研究并不多見。

中國人民大學博士研究生鄔漢青、何院耀,盧仲毅教授,中國科學院物理研究所/北京凝聚態國家實驗室T03組孟子楊副研究員、方辰副研究員組成的團隊(下面簡稱該團隊),在相互作用導致陳絕緣體態的數值計算方面取得了進展[1]。該團隊提出了一種針對弱耦合區域相互作用導致的拓撲物態的通用診斷方案。利用嚴格對角化方法給出的本征值及本征波函數,結合點群操作算符的本征值和關聯函數信息,分析出體系熱力學極限的序參量對稱性和基態可能的拓撲數。根據這一方案,該團隊第一次從數值上給出了棋盤格子上具有最近鄰排斥相互作用的無自旋費米子模型中存在由相互作用導致陳絕緣體的支持性證據。這個工作最近發表在美國物理學會雜志的Physical Review Letters期刊上。

   

  

圖1. (a) 具有C4對稱性的16個格點的棋盤格子。a1和a2為原胞基矢,t, t', t'' 為最近臨和次近鄰躍遷。(b) 無相互作用模型的能帶圖。二維情況下的二次型接觸點貢獻出有限的態密度。(c) 棋盤格子上相互作用模型的基態相圖, V 是相互作用參數。

如圖1. (a) 所示,棋盤格子模型哈密頓量具有最近鄰躍遷和兩種交錯排列的次近鄰躍遷。在無相互作用時,上下兩條能帶在布里淵區的M點上有一個二次型的接觸點(quadratic band crossing point, QBCP) [圖1. (b) 所示]。這個二次型接觸點受到C4點群和時間反演的共同保護。如果破壞時間反演但保持C4旋轉對稱性,例如加入圖1. (a) 中綠色箭頭所示的環路電流(這類似于在近鄰片 (plaquette) 內加入交錯磁通,但體系總磁通量保持為零),則體系會在M點直接打開單粒子能隙,進入具有非零陳數的陳絕緣體態;相應的,系統有整數化的量子霍爾電導和手征邊界態。反過來,如果加入保持時間反演但破壞C4對稱性的交錯在位勢能項,那么QBCP就會分裂成兩個狄拉克點反向地往X點移動;當狄拉克點在X點相遇時,打開能隙。

對于在這個模型中加入最近鄰排斥相互作用,單圈重整化群分析認為[2],QBCP在相互作用下是不穩定性的,具有手征邊緣態。而該研究團隊的數值結果確實發現,系統在熱力學極限下,在弱相互作用區域就是處于一種由相互作用誘導自發產生電流環路的陳絕緣體態;該態破壞時間反演,具有手征邊界態;而在強相互作用區域則是處于一種電荷重新分布的格點向列序(site-nematic order)絕緣體;該態破壞C4晶體點群對稱性。圖1. (c) 給出了系統在相互作用下的完整相圖。

   

  

圖2. (a) 嚴格對角化方法計算的16個格點模型的最低的四個本征能量隨相互作用改變情況,(b) 單粒子能隙和多體能隙隨相互作用的變化。

圖2. (a) 展示了系統最低的四個本征能量隨相互作用的變化情況。在 Vc / t ≈ 2.8處能級出現交叉。在交叉前,能級具有兩重簡并,互為時間反演共軛對的兩重簡并基態波函數構成C4點群二維不可約表示的基函數,對應C4操作的本征值分別為±i (見表1, V<Vc)。在一個有限尺寸體系和弱相互作用下,能夠證明對一個有能隙的系統,其基態波函數所攜帶的陳數與周期邊界條件下一些旋轉操作算符的本征值直接相關[3]: iC=ζ, ζ為C4操作算符本征值, C 是陳數。所以這兩個簡并態分別攜帶著C=1 mod 4、C= -1 mod 4的非零陳數。對于一個有能隙的體系,它的熱力學基態的拓撲數(包括陳數)都是唯一的,基態不會是具有不同陳數的多個量子態的線性疊加,因此在逼近熱力學極限的過程中,體系必然自發破缺時間反演對稱性,選擇具有某一確定陳數的基態作為熱力學基態,所以模型在弱相互作用的熱力學極限下是處于一個陳絕緣體態。這個絕緣體態也在圖2. (b) 的單粒子能隙打開情況下得到確認。該團隊也計算了環路電流的關聯函數所對應的結構因子,如圖3. (a) 所示,它在弱相互作用區域具有一個寬峰,表明這種環路電流序在熱力學極限下可以穩定存在。綜上,可以說明模型在熱力學極限下的弱相互作用區域是處于一個由自發形成的環路電流破壞時間反演的陳絕緣體態。

   

  

  表1. 16個格點有限團簇計算的多體本征態的對稱性質。SSB表示自發對稱性破缺。

   

而在強相互作用區域,有限尺寸體系的兩個近簡并基態構成C4點群的一維表示。它們所攜帶的陳數可以通過基態波函數對邊界纏繞相位的線性響應計算得到。該團隊發現它們的陳數都為零 (見表1,V>Vc),在拓撲上是平庸的態。而它們的C4本征值符號相反,但是C2操作算符的本征值相同。考慮到兩個相同陳數的態在熱力學極限下可以線性組合,那么強相互作用區域的熱力學極限態應該是一種破壞C4對稱性但保留C2對稱性的一種絕緣體態。通過A和B子格電荷密度差的結構因子的計算,該團隊確認了這種絕緣體相是破壞C4對稱性的格點向列序型絕緣體態。

   

  

  圖3.  環路電流結構因子 (a) 和格點向列序結構因子 (b) 隨著相互作用和系統尺寸的變化情況。

   

從領域的發展來看,2008年S. Raghu 等人首先建議蜂巢晶格上可能存在相互作用導致陳絕緣體 [4]。然而近幾年來,這一個猜想受到了不少理論和數值研究的質疑,相互作用導致陳絕緣體一直沒有被發現。這是因為二維系統的狄拉克點在弱短程電子-電子相互作用下是穩定的,所以無質量的狄拉克費米子能夠在一個有限的臨界相互作用前存在。超出了弱耦合區域,平均場和單圈重整化群方案的結果是不可靠的,其他可能的長程序與陳絕緣體相強烈競爭。而在工作 [1] 中,相互作用導致陳絕緣體被成功發現,這是因為工作 [1] 研究的模型具有二次型接觸的能帶,費米面處有有限的態密度,短程相互作用是略微相關的,而且QBCP的動態臨界因子z=2,也就是QBCP點處低能有效維度為d+z=4。根據朗道-金茲堡判據,平均場分析結果是可靠的,該團隊的嚴格對角化數值結果和點群操作算符的本征值和關聯函數信息的分析,成功地確認了相互作用導致陳絕緣體,推動了相互作用拓撲物態領域繼續向前發展。此外,該團隊所發展的數值診斷方案(嚴格對角化數和點群操作算符的本征值分析)是通用的,可以推廣到其他體系的弱耦合區域相互作用導致的拓撲量子物態 (例如量子自旋霍爾絕緣體,p+ip超導等) 的探測中。

   

這項工作得到了國家自然科學基金和國家基礎科學研究計劃(鄔漢青、何院耀、孟子楊、盧仲毅),國家青年千人計劃、科技部國家重點研發計劃(方辰、孟子楊)的支持。嚴格對角化方法所需的并行計算在中國人民大學物理系高性能并行計算物理實驗室,中國科學院物理研究所量子科學模擬中心,國家超級計算廣州中心天河2號等計算平臺上完成。

   

  [1] H. -Q. Wu, Y. -Y. He, C. Fang, Z. Y. Meng and Z. –Y. Lu, Phys. Rev. Lett. 117, 066403 (2016).

  [2] K. Sun, H. Yao, E. Fradkin, and S. A. Kivelson, Phys. Rev. Lett. 103, 046811 (2009).

  [3] C. Fang, M. J. Gilbert, and B. A. Bernevig, Phys. Rev. B 86, 115112 (2012).

  [4] S. Raghu, X.-L. Qi, C. Honerkamp, and S.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 100, 156401 (2008).